日历

2025 - 1
日 一 二 三 四 五 六
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031 
«月» 2025 - 1 «年»

存　档

日志文章

上一篇/ 下一篇

2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 *_-vFF20/  
:$0@[jc%  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在.  @ e<{  
e'RW50I.)+  
　　1、三角函数本质： {ML=cQ4{  
)(FKkkXA  
　　三角函数的本质来源于定义 '4XzkU?N&  
=,B1z3A[  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 HP|U@s@  
p0?gYy`(c.  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 $O,hA Z:  
;mm%+It+L  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： e` $vR(fh  
/[u/K %p0  
　　推导： [Ji l/gz  
X }W  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 *7km SB  
L.#(@wf^;  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) U!cw@JJ  
zQn"W P)t  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) L0Vm"#  
g/25wV  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ;PiV9802  
HjNae2HL  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） u3S7|]8  
j%uz#vBL  
　　[1] 2Xc&'lgZz  
_sr8y  
　　两角和公式 g\@du>lH  
-2&so  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB b!'By8&  
=my# X!\  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  +&oi ),  
K)lQzP 6[Y  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB Re1GT )  
.~ d,.IW  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB " Kv`1JK  
DAf&IV.   
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 1uY)!'L8kx  
Yn-a]o6  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) `a12K!=*  
R,N2A>i!  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  o]6,/_  
-K.N{{J$  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) nFTv;c  
!WG"Jy+  
倍角公式 vN>I~  
HWM:v"+xBV  
　　Sin2A=2SinA•CosA 'u:H(V4lo  
,LEPmb B  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 nho2fk}&[  
]#pj!  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） I~~}6[>  
w U?AL7:  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） )a\'D+%m  
.v&6/1  
三倍角公式 C)%]fDCJ7q  
y*\^XmH)P  
　　 %unV9|A  
#]? v'G'  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) .CTq >mvS  
U j+lktgs  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 7")I;1Kjx  
d27 VTn  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 5JD9'T  
.CDy;1T  
三倍角公式推导 "i'5jUax  
T5_mI Hn+  
　　sin3a 7! 1Oqk  
ow6TnK<  
　　=sin(2a+a) H7j[z'-  
f^uU/P_k?^  
　　=sin2acosa+cos2asina h^D*dEbP  
@} @dO*J  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina lo/+ga4.P  
z}o,lWh,  
　　=3sina-4sin³a Q(bs{Mkk  
 S5k&1Ps  
　　cos3a $ .:s1 \{  
xOS 2xa r  
　　=cos(2a+a) %,VM\ /~  
nrgmG2  
　　=cos2acosa-sin2asina E(_Z= =hmA  
+v~v$;OO-  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa D,o!bY#m-  
bH Oi/Sl\`  
　　=4cos³a-3cosa <C|h t%'A  
WwA i O  
　　sin3a=3sina-4sin³a e&p)0f""c  
7Rh2E1{*  
　　=4sina(3/4-sin²a) $Z1o=E4Lzw  
vH?) DW1  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] X!N9^4Dh  
{e 8|z$  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 1 2i6)}lr  
[7'!/?l@XF  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) _|[t x0hY,  
WM)z43?  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] W/je.e_A  
CjBzI9~i  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ,d/wZ{c  
&!$oII  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 0f^-xa71  
3b'N;Ij 8  
　　=4cosa(cos²a-3/4) A|ARx-e  
`m/H?7>'  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] DED(W /KF  
P)N)ljz  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) ) Pid(M^,  
5d`F;0Z  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) wS,[ t7 )  
.W>Uq*Q  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} rh6A)\wz*  
zIO .t_ ci  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) xg!%@Z7C  
h+3Md- ]8  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] B0WUImgM  
M3|*6%  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] u2]os@[o  
LcVV5F@x  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) C~;PT5!x9  
Ad &@f  
　　上述两式相比可得  Y4Re#c&  
gqzzKF;Q`K  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) />n4  
AKW<I\ `0  
半角公式 T UWP8+N{'  
n.l#=>u%8  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 5* ZTYbn  
1rX=`L,|z  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. gIq4IJy  
tkf<@VQ  
和差化积 .?*|"`{V  
ug=xWweHR  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] n"L3eT9vm  
,3M < yo  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 0}K^z^ryn  
@;|f:eBuJ  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] kVmz /r.)  
7tDh(Rj3j  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] <\G&!0uH,  
@5d0Q(-;  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) U;5TH%)w  
?x2Har6  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) %:ET5d  
2?1?")sy  
积化和差 HBJcy1Z]  
#YvPCI  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] z[j9. =Z  
E0f  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] '0WWC2z  
hD:>G'9Yc4  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] V*~@:+Z~4  
g<9RIY=  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] a&;^=f3R  
Y 4IcaEW  
诱导公式 X,+;E!  
XkA@R"F  
　　sin(-α) = -sinα >v1<>cXG  
7/}`\_7"a  
　　cos(-α) = cosα DP2uG6c{]  
6*-P*Y'k`  
　　sin(π/2-α) = cosα Y\Fxl%__  
}.~%v%.! %  
　　cos(π/2-α) = sinα fMJ ,!  
!B: 8^]9  
　　sin(π/2+α) = cosα R< HPa#x  
QDH]EK/)%8  
　　cos(π/2+α) = -sinα zP .fpOb  
2g->O(y  
　　sin(π-α) = sinα 6OMX@MdTp  
qO!u^H  
　　cos(π-α) = -cosα J7McKmAT~  
Icm|\ N]  
　　sin(π+α) = -sinα U0F,nH Tz  
IA. ''fx  
　　cos(π+α) = -cosα FbY*"O4  
8D1>,w  
　　tanA= sinA/cosA =xn6@ZN;  
dZMZBr_+  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα c[ u eUp   
2/ Jvb- `  
　　tan（π/2－α）＝cotα q^eyl1,4  
0GYtr k  
　　tan（π－α）＝－tanα s1~B8\ka  
?F^w{n#  
　　tan（π＋α）＝tanα ?|)CON<TKF  
s1$wu,m8  
万能公式 ^<Q6)  
tkx"v  
　　 T6q<@ 3:2  
@.&2eN`A  
其它公式 %, 3eT#5P  
O]ZB3K  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ltG4Q F?  
,9T(u  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 PP&B),XtH  
q)=L[-gqg  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 ^NebHss:*Y  
?6&E_mbri  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 co&Nl?W  
l?W=+pwrm  
　　对于任意非直角三角形,总有 e`At}bqv  
 Nd{{x,0  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC [ nhTK^  
dmQlao|ud  
　　证: C`X#  
|wMk O )  
　　A+B=π-C R>2e! =  
mS]cN$M>_  
　　tan(A+B)=tan(π-C) l$s!G@#b  
| )w8"1V?  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) kZJG}$%i'  
!ZfXtAr  
　　整理可得 RBz(>C.h  
EVa{s}@kMd  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC GR<.& YCJ  
3p?SV%/J~  
　　得证 *=b{zCv  
-J;kn!  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 6z?GKL  
Nf wAk0  
其他非重点三角函数 <W-Kt(dU m  
x|Z\YV<Bm  
　　csc(a) = 1/sin(a) /k<9vlP>  
1CVej>]I  
　　sec(a) = 1/cos(a) [l*IF  
:nsic=*z  
　　 )/  
Zf}BtJ)Qw@  
双曲函数 ?5!!}j?  
7"(d_ iR`  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 pt) 9>`s  
d`opQri:  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 74C0V|9m;`  
WksV!n:0  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ^!?t?STZ  
;R*+KV>UM  
　　公式一： IbD-I#  
[Uap?/k4  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： /}W V48E'  
VnZ6ECC  
　　sin（2kπ＋α）= sinα  2( n  
O*_}6]P@  
　　cos（2kπ＋α）= cosα Z"REPI0  
f/ rm0Srb  
　　tan（kπ＋α）= tanα B}&@ yKk  
iQ'QOuuC  
　　cot（kπ＋α）= cotα ]`;B<#aR{  
L;v`jJ6<t  
　　公式二： {I9u6^l  
s2m$4  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： *.nF _  
ldY\[1?oc  
　　sin（π＋α）= -sinα )z!APw  
@ +h&s#z  
　　cos（π＋α）= -cosα 0x5uj"1  
mg24r?Laz  
　　tan（π＋α）= tanα "kcPfgQ<  
XeRJ=zz~  
　　cot（π＋α）= cotα E^2>ODA  
X.h*X?QL  
　　公式三： p,A)&*  
Uq5rt g  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： o-r1NiO\  
4PZ6e\}$  
　　sin（-α）= -sinα O] 5T=R?  
I_L#?-C  
　　cos（-α）= cosα {+w m'uy  
TocEQ`FT  
　　tan（-α）= -tanα *rb   
:HZUa[ e  
　　cot（-α）= -cotα MUIQx|  
AjRo Wu\A  
　　公式四： Ok |HaJU\  
&{L@'gvz5  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： qsY~3FMB  
l@q?SPceB  
　　sin（π-α）= sinα IqPKU9J,/  
p;~:9;yz  
　　cos（π-α）= -cosα  \tkwW  
.4H@lt  
　　tan（π-α）= -tanα %C<g"} EP  
P-v1%YM  
　　cot（π-α）= -cotα xB#W'p_  
*VfN!VXv  
　　公式五： "L\8,St  
KR=bnDtb.  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： c m7z=F8L  
7MR3U^d;MD  
　　sin（2π-α）= -sinα >qI+Qk6C  
OH)%N{z`|  
　　cos（2π-α）= cosα W34 [.Yn  
5BKE5AN_;A  
　　tan（2π-α）= -tanα @|uzOIiF\  
}#U,(P  
　　cot（2π-α）= -cotα a0TiHPi  
T9$.aHO  
　　公式六： W1Ty=C wk  
vwyX$YoKW  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： rG#d%R(!F  
0DDm= RmO  
　　sin（π/2+α）= cosα ? DCSa6,  
HN ;r$}Zw  
　　cos（π/2+α）= -sinα dVwS &-#  
7JRg ~Y  
　　tan（π/2+α）= -cotα I(>2@ $`  
_)=6w<kmN  
　　cot（π/2+α）= -tanα QeQyP  
&\U 6{ E  
　　sin（π/2-α）= cosα Y"#[ fWA  
>KffkxiI  
　　cos（π/2-α）= sinα R 5)V /8#  
!zZB|  
　　tan（π/2-α）= cotα .`b1AFm  
8RfZ,ke1  
　　cot（π/2-α）= tanα 6gqM[u2  
*T^b/Qy!v^  
　　sin（3π/2+α）= -cosα a0' =x9[  
_*D b*g  
　　cos（3π/2+α）= sinα R J M/NmE  
aQk*`Fr  
　　tan（3π/2+α）= -cotα Vf C#*  
@T!~Rs.  
　　cot（3π/2+α）= -tanα +i:>q=[~@  
} s<Quow  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 5?IiMqt  
: ^ u.vu4  
　　cos（3π/2-α）= -sinα WT\Mz"x  
rd_,ESi|v  
　　tan（3π/2-α）= cotα 4aDM2"  
|cJg8 )w  
　　cot（3π/2-α）= tanα T2'~)K  
.%Qfw7\I  
　　(以上k∈Z) CI+] a9  
R2=!kv{v!b  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 }3e`HLS  
V`u5Vg~h  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = LB#2QIp  
2<nz as  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } =aK+:N?_-  
Qe[Y,$   
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
类别： 收藏 |  评论(0) |  浏览(15334) |  收藏