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日志文章


2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律 D{Wx+U  
a>+if d  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. &w%O.*,  
9O%5 zQ>  
  1、三角函数本质: \' 2zt  
'iRouS`  
  三角函数的本质来源于定义 D5K.Z  
J~F 4$_  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 j/T)DY  
-FZTK` t  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 ?vYoCJp  
Ob a`si87  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: fvhB6U  
\[FE~o  
  推导: 8l>4(h.  
]W*$CXs  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 HpQ5S ^H  
92~W?-JW  
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) =13bEji1  
h@zfsX(v[  
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) & Hc!  
[=G~uw0  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 EH,e<crn  
K 4q= %e  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) FYc!(k  
F]W@;  
  [1] SxH3! H1  
`)i/t'hK}  
  两角和公式 {hR.P#f8  
ak&*A/,  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 'd&kUO<  
o# Db%  
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  a4:82|?z  
JpxB->+  
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB Y!5Eylu l  
mi]ok K,B  
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB l?8i@] Yd  
15\P%HP  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) )Yp|5 ,  
uV jOY/  
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) x&g>zE#w  
 INdQx2iN  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  [aw9 IN?j  
Tb',lw,  
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) YG;kH6f#c  
.Tkr% !#  
倍角公式 $DX?Q  
KFr~ QS  
  Sin2A=2SinA•CosA @}XK7Sq(j  
7-m> /: S  
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ?^.w2Q =  
'Tc>\H[g  
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) CEYrm}R  
lv /Cqu N  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) 3,*|87u  
a >w[9j#t  
三倍角公式 :z?vG[  
dn<v Bzyd  
   EY|r@r6L  
$VKr!5^  
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ~28 nQqb  
,}[|!BH  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ` Ju7F@iN  
S59nYZ  
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) }ihV-/  
@3E]JSV+O  
三倍角公式推导 ( aN.G:Z  
vOEb :hKN  
  sin3a T"U;q^ ?  
$AOn  
  =sin(2a+a) AJ1CmB  
4+&~kFn  
  =sin2acosa+cos2asina Q2FKXM  
eXs;$},Tf  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ZaxR}\^C3  
xm4"*$&e  
  =3sina-4sin³a 4bD:m-pAe  
Vs0c-Etib  
  cos3a ]c`OG:s>  
(.]N9`GN  
  =cos(2a+a) mW5w2aA  
=> \B  
  =cos2acosa-sin2asina uUfZj  
G7h<OJ1  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa =yROqp  
1xgAg }<  
  =4cos³a-3cosa *C {<BP  
}x&oUX)t8  
  sin3a=3sina-4sin³a > X~yvA  
!>&`Fk$:T  
  =4sina(3/4-sin²a) )-|}2v?=N  
^Na<&  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] o3&Dc  
7ZweMi83%  
  =4sina(sin²60°-sin²a) xti~b[DV&  
eYs_{~"  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) [-+N@4ep2  
l f 6?T  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ow;i~f  
e__5bT%g  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) Sgis5qn~  
*I@KQd&w)o  
  cos3a=4cos³a-3cosa Nu|]ah  
8.ww3~  
  =4cosa(cos²a-3/4) 2#j#%4|4c  
l:zu Y}h  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²] [qz tN=]  
^*M;>;sK  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) |BC xV 5z  
KBk"@kIc4  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) iAEAieE  
oe}rg C-m  
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} $%c.5}T^H  
WK @M#1I  
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) # X~aE  
GWSi.$Z*  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 5y!49bki?  
.X`qlI  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] xQXuU[ i  
wH;}Q#?G  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) a(S, F)=}  
,oE 3ds  
  上述两式相比可得 |W1h&6p'^  
Zhyj2Ol2u  
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) -<F;_q/  
MJ]^VJ_sP\  
半角公式 usQx]CHjn  
U2DHa!t~r  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ~a8g%C  
]Zi6u@  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. v/hy|9s  
jDx&BlB+,  
和差化积 au & c p  
C:~dN|{JJ  
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] hu1 Sl&  
%NiW?_a>5_  
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Ix ]B+k  
aap0V'<o>  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] lqN}3[jG  
c_?"L _*(  
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] prBu_ gJ0  
\],wAS:`i  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) <WK]r4 q\  
~.YGeDM7  
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 0BRzIRd  
7r,ekCX  
积化和差 g+g(`j E  
5Qfc.8  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] {jPThkB  
GoW 1|C  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] )8T`G/s1  
m\29:V$  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] B&VBs1   
r85;g!2w  
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] MgfY] ^7d  
/Jwrgb  
诱导公式 V Jf}2W  
zV kiQ U3  
  sin(-α) = -sinα BJDhU|>E  
WU8Hl^<P  
  cos(-α) = cosα y*?E/@ +`  
Xx^$   
  sin(π/2-α) = cosα !bvgq@  
J ,=&-y  
  cos(π/2-α) = sinα {dtJ6RL  
*` $p5,  
  sin(π/2+α) = cosα r/& iuBv  
)lA} Gf  
  cos(π/2+α) = -sinα *C@A+K  
4t &SF/  
  sin(π-α) = sinα F=Zf0\y,  
_KX_c  
  cos(π-α) = -cosα 3c**m,  
ao|9`BvL  
  sin(π+α) = -sinα $9[rb/8b  
K]j<mS4Y  
  cos(π+α) = -cosα h9@O7<|3  
v93Kxz=F%]  
  tanA= sinA/cosA Z:tmh1  
&>O) :  
  tan(π/2+α)=-cotα 5SVXEJl  
yuc-]f<R6  
  tan(π/2-α)=cotα S,LZ*%1E  
I/\k<Itd  
  tan(π-α)=-tanα g(%]7t \  
D&hi4ps  
  tan(π+α)=tanα \*u{*a  
-D5Pk=4l  
万能公式 OwdLH  
b,T?F{  
   nSAY#[fr=  
apwzgL4S  
其它公式 GT2,_&ERo  
W'qc g%  
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 reJ.8=rT  
8)KGnN(T  
  1+(tanα)^2=(secα)^2 8nY_|  
xHT$NGTy +  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 k d4\M  
dSm_af  
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 :Go`4w4  
j<q8|  
  对于任意非直角三角形,总有 5|!6]`  
+rW'PQFf[k  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 7$%Ia{]qG  
mK1r6~  
  证: m[-1R_(r  
!}d<se  
  A+B=π-C Q DU!p*Z  
eis] W  
  tan(A+B)=tan(π-C) =Mi LP  
4u#0l(Y  
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) }I=|   
T*P#&4iH  
  整理可得 &\#v{;K  
4x?+bgv.  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC EPr%*A=h=  
U@kiw]|T  
  得证 T?5,z} Y  
/^EQCT6d9]  
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 S('e)plS  
<6(d-;  
其他非重点三角函数 ev3b#LW6F  
Z(n@  
  csc(a) = 1/sin(a) OE[D/W,j  
Vm|z%maz2W  
  sec(a) = 1/cos(a) T%#||<Y3#  
B Xfz)  
   CSw\I5 &@  
&z&Jh@ j  
双曲函数  lelTb7  
;, #_Ik&W  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 841QF +-  
"& ?=jx%  
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 u@&)YJY  
5;Z8k IF  
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 2Y;**>  
>bU^Sx  
  公式一:  L4E@TU  
k`p?nC>7  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: C3 Lp`D`v  
ZUWt&KMd  
  sin(2kπ+α)= sinα g2,"lQm  
/IfQB;N%   
  cos(2kπ+α)= cosα 6|"K4d0w~  
m pP'3t  
  tan(kπ+α)= tanα !{MeN!vsk  
y2TRym :  
  cot(kπ+α)= cotα Tqx)qLnc  
y=;Eoas  
  公式二: drPkY5<  
1g3tzI_0  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: I?&9_!<  
VOyHhrW-  
  sin(π+α)= -sinα dCF&\fkvP  
V$ = Mu  
  cos(π+α)= -cosα .l?%J/Y;  
7{vctX`h;  
  tan(π+α)= tanα t9Uuvv0k  
8R^# J  
  cot(π+α)= cotα RpQ0`@r^  
;~o06JYt  
  公式三: qYk7|(  
ef`IMd  
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: ]6~;/K  
6pa]0-AX  
  sin(-α)= -sinα gCuKX8kC  
n\ytaR7^OY  
  cos(-α)= cosα QkLMl5{.m  
xZ:0!(KM8  
  tan(-α)= -tanα Kn\7ymR  
GNg8PJO  
  cot(-α)= -cotα :P*1AuMK  
Jn1rc-TA  
  公式四: -\knsEBq  
zyB#5@`mu}  
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: 26lzz<!  
TdKxe  
  sin(π-α)= sinα 9M<5D"g  
z+O)Y:  
  cos(π-α)= -cosα Y\_f:}f  
uDWt  
  tan(π-α)= -tanα t:-T;-j~  
@[o),X4p  
  cot(π-α)= -cotα ' V \{a(/  
<b${|l[  
  公式五: pn2d i;Z  
l%f }6  
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: M!aqKni  
n+>PcN  
  sin(2π-α)= -sinα x]o-kB_  
dv 9*i=  
  cos(2π-α)= cosα rKl!;K1%l  
,xi>ri;  
  tan(2π-α)= -tanα L2_u g$;  
zsSXneG;  
  cot(2π-α)= -cotα &DdOs>sCx  
H.v Qv|<[U  
  公式六: _\jm00 wf}  
DM[.:IE(  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: Wh\6n'  
um5E -v  
  sin(π/2+α)= cosα sPoUiaQqP  
q] d 8w  
  cos(π/2+α)= -sinα 8vxnFzzc  
v/p!oLs2E  
  tan(π/2+α)= -cotα ](eRA1{7I  
F>3:&cd0/  
  cot(π/2+α)= -tanα -x8;-c @8  
:+l.7y1hI"  
  sin(π/2-α)= cosα [UoE-D  
{O PI^05  
  cos(π/2-α)= sinα  @.D:^_  
-C!?i]fY  
  tan(π/2-α)= cotα &>O]SBDy  
('8S!%  
  cot(π/2-α)= tanα I C \51l  
DyZNsoq|j1  
  sin(3π/2+α)= -cosα wgF"` bZ  
t61%sms  
  cos(3π/2+α)= sinα fTqD)6  
kJ3rSjRy  
  tan(3π/2+α)= -cotα 7XG wf  
!9hR+6tR  
  cot(3π/2+α)= -tanα 3Z%;{=h"  
.BU]#OB  
  sin(3π/2-α)= -cosα %  rvLA6  
Q1H5:$%9y  
  cos(3π/2-α)= -sinα (Ar~5tgY  
l@ZDi^)3  
  tan(3π/2-α)= cotα d?sNAM[MV  
z"H_cG$pN  
  cot(3π/2-α)= tanα npuar(Ne  
GpL KfOB  
  (以上k∈Z) 9I1DRy`v  
l Q^Y: ,  
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 %EIXC;M  
'^p5ef  
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = cfuv'7)  
c&;zjxj?+  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } nVq-`x"DZ%  
[.An("Ce  
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
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