三角函数内容规律 D{Wx+U
a>+if d
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. &w%O.*,
9O%5zQ>
1、三角函数本质: \' 2zt
'iRouS`
三角函数的本质来源于定义 D5K.Z
J~F 4$_
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 j/T)DY
-FZT K` t
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 ?vYoCJp
Ob a`si87
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: fvhB6U
\[FE~o
推导: 8l>4 (h.
]W*$CXs
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 HpQ5S
^H
92~W?-JW
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) =13bEji1
h@zfsX(v[
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) &
Hc!
[=G~uw0
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 EH,e<crn
K4q=%e
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) FYc!(k
F]W@;
[1] SxH3!H1
`)i/t'hK}
两角和公式 {hR.P#f8
ak&*A/,
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 'd&kUO<
o#
Db%
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB a4:82|?z
JpxB->+
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB Y!5Eylu l
mi]ok K,B
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB l?8i@] Yd
15\P%HP
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) )Yp|5 ,
uV jOY/
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) x&g>zE#w
INdQx2iN
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) [aw9IN?j
Tb',lw,
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) YG;kH6f#c
.Tkr%!#
倍角公式 $DX?Q
KFr~ QS
Sin2A=2SinA•CosA @}XK7Sq(j
7-m>
/:
S
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ?^.w 2Q
=
'Tc>\H[g
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) CEYrm}R
lv
/Cqu N
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) 3,*|87u
a>w[9j#t
三倍角公式 :z?vG[
dn<v
Bzyd
EY|r@r6L
$VKr!5^
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ~28 nQqb
,}[|!BH
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ` Ju7F@iN
S59nYZ
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) }ihV-/
@3E]JSV+O
三倍角公式推导 ( aN.G:Z
vOEb :hKN
sin3a T"U;q^?
$AOn
=sin(2a+a) AJ1CmB
4+&~kFn
=sin2acosa+cos2asina Q2FKXM
eXs;$},Tf
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ZaxR}\^C3
xm4"*$&e
=3sina-4sin³a 4bD:m-pAe
Vs0c-Etib
cos3a ]c`OG:s>
(.]N9`GN
=cos(2a+a) mW5w2aA
=>
\B
=cos2acosa-sin2asina uUfZj
G7 h<O J1
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa =yROqp
1xgAg
}<
=4cos³a-3cosa *C{<BP
}x&oUX)t8
sin3a=3sina-4sin³a >
X~yvA
!>&`Fk$:T
=4sina(3/4-sin²a) )-|}2v?=N
^Na<&
=4sina[(√3/2)²-sin²a] o3&Dc
7ZweMi83%
=4sina(sin²60°-sin²a) xti~b[DV&
eYs_{~"
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) [-+N@4ep2
l
f 6?T
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ow;i~f
e__5bT%g
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) Sgis5qn~
*I@KQd&w)o
cos3a=4cos³a-3cosa Nu |]ah
8.ww3~
=4cosa(cos²a-3/4) 2#j#%4|4c
l:zu Y}h
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] [qz tN=]
^*M;>;sK
=4cosa(cos²a-cos²30°) |BC xV5z
KBk"@kIc4
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) iAEAieE
oe}rgC-m
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} $%c.5}T^H
WK
@M#1I
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) # X~aE
GWSi.$Z*
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 5y!49bki?
.X`qlI
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] xQXuU[ i
wH;}Q#?G
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) a(S, F)=}
,oE3ds
上述两式相比可得 |W1h&6p'^
Zhyj2Ol2u
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) -<F;_q/
MJ]^VJ_sP\
半角公式 usQx]CHjn
U2DHa!t~r
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ~a8g%C
]Zi6u@
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. v/hy|9s
jDx&BlB+,
和差化积 au&
c
p
C:~dN|{JJ
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] hu1
Sl&
%NiW?_a>5_
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Ix ]B+k
aap0V'<o>
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] lqN}3[jG
c_?"L
_*(
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] pr Bu_gJ0
\],wAS:`i
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) <WK]r4
q\
~.YGeDM7
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 0BRzIRd
7r,ekCX
积化和差 g+g(`jE
5Q fc.8
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] {jPThkB
GoW 1|C
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] )8T`G/s1
m\29:V$
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] B&VBs1
r85;g!2w
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] MgfY]
^7d
/Jwrgb
诱导公式 V Jf}2W
zV
kiQ
U3
sin(-α) = -sinα BJDhU|>E
WU8Hl^<P
cos(-α) = cosα y*?E/@ +`
Xx^$
sin(π/2-α) = cosα !bvgq@
J,=&-y
cos(π/2-α) = sinα {dtJ6RL
*`$p5,
sin(π/2+α) = cosα r/&
iuBv
)lA}
Gf
cos(π/2+α) = -sinα *C@A+K
4t &SF/
sin(π-α) = sinα F=Zf0\y,
_KX_c
cos(π-α) = -cosα 3c**m,
ao|9`BvL
sin(π+α) = -sinα $9[rb/8b
K]j<mS4Y
cos(π+α) = -cosα h9@O7<|3
v93Kxz=F%]
tanA= sinA/cosA Z:tmh1
&>O) :
tan(π/2+α)=-cotα 5SVXEJl
yuc-]f<R6
tan(π/2-α)=cotα S,LZ*%1E
I/\k<Itd
tan(π-α)=-tanα g(%]7t
\
D&hi4ps
tan(π+α)=tanα \*u{*a
-D5Pk=4l
万能公式 OwdLH
b,T?F{
nSAY#[fr=
apwzgL4S
其它公式 GT2,_&ERo
W'qc
g%
(sinα)^2+(cosα)^2=1 reJ.8=rT
8)KGnN(T
1+(tanα)^2=(secα)^2 8nY_|
xHT$NGTy
+
1+(cotα)^2=(cscα)^2 k
d4\M
dSm_af
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 :Go`4w4
j<q8|
对于任意非直角三角形,总有 5|!6 ]`
+rW'PQFf[k
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 7$ %Ia{]qG
mK1r6~
证: m[-1R_(r
!}d<se
A+B=π-C QDU!p*Z
eis]
W
tan(A+B)=tan(π-C) =Mi
LP
4u#0l(Y
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) }I=|
T*P#&4iH
整理可得 &\#v{;K
4x?+bgv.
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC EPr%*A=h=
U@kiw]|T
得证 T?5,z} Y
/^EQCT6d9]
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 S('e)plS
<6(d-;
其他非重点三角函数 ev3b#LW6F
Z(n@
csc(a) = 1/sin(a) OE[D/W,j
Vm|z%maz2W
sec(a) = 1/cos(a) T%#||<Y3#
BXfz)
CSw\I5
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