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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 $Bc_M'H_  
>h>DkL @nJ  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. Ra,Wxpo~  
? #j8.,I!^  
　　1、三角函数本质： .?/Q@9'B  
\6~ >1m  
　　三角函数的本质来源于定义 =?!90,ZV  
RF%:#' ^U  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 8 pT L;Y$  
T&,3t|(  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 bk@l:/N  
738z8<  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： *u+;9k+s  
I#a{G6x**j  
　　推导： +?l{,e)|  
Zxi| s>33  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 )BD680g%&  
pg?3Akn$nq  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ip+`y=z  
VuMOF4/7b  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) H:]6$0i0  
*5uqs~,U  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 {#DN*NQ-  
BJ=:h#   
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） xht" ~c  
 qcd(Y+  
　　[1] Kw&~"Fjs  
)88kP;ljb  
　　两角和公式 0g0 nu  
`Zq7@;  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB \f8$`>s  
p@oy82[5  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  1PD}BF1y  
<q{j":Q  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB N&eW_.yL  
\ $x u .  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB u+a'uvt  
I*v:cC eM  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ~[SPVMnm7  
RA\I|]XL  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) .m|(O%n6Q  
@n3T!.  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  c.Y5}}D!q  
DUhB~@  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) I$lNQo|)c  
d@OsHb? k  
倍角公式 W2;9)?S  
QZzvg JG  
　　Sin2A=2SinA•CosA 2NO/ `l  
Mtx '[p  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 E*.eUIE  
9*>_Jzi  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） a97@2%.<C%  
(\nMz>B"  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） zEQn>kv;E  
pi4e|:  
三倍角公式 \Z<9yG3  
^usgg0OKp  
　　 Jns>d2  
&ihnJTHq;  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) =7!r{4_ H  
Qv-Iu 8Q  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) O%f,Rg7  
D j.bd"  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) Q04wZnuN x  
O yH`  
三倍角公式推导 |>8Tj6\'.  
e40s14ll  
　　sin3a /`i@JSv9E  
Sj9a.Su:-  
　　=sin(2a+a) -EX6zV  
'|dLXA>+  
　　=sin2acosa+cos2asina )`p8WU.?  
OjKCeI  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina Y:Huv"2  
f19XlT;  
　　=3sina-4sin³a Wr4pNgu  
(wA~3UO  
　　cos3a ]awf5,}*  
lj(Xq   
　　=cos(2a+a) shvRoUp  
4Y d}8.   
　　=cos2acosa-sin2asina 2:/-jBpz  
(o4wHWXR  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa #lke\rB<  
d+5fUA  
　　=4cos³a-3cosa [_\-E  
~'n|U#/  
　　sin3a=3sina-4sin³a PdX{)4 <u  
d<6<ZPP  
　　=4sina(3/4-sin²a) d>0wT!4N  
8,aoC0  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] t _L({x$  
p#q+Amtk  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) G >jr-   
Tk&sr0%.[  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) \(Hy)C88@&  
odD   
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] -=]1 MP  
}7l=Ga  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) f|HiDJ>c3  
d&bjFUM:  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 2%~} \~|  
ZK" O1  
　　=4cosa(cos²a-3/4) :]<'g_!2  
SHj!yIf2  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] E 9tB3^  
{qqN(P5/  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) G'Umz{bt\  
m"l^^o  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) e'n'tdR7<  
T/8 9BH|  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 9amOU__oC  
#(2y5X  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) *Yn>8uZk  
-.~`Cj_T  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 0,>:<oC  
G*tKt7,Z  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] Jk=r.QU |  
^Gt?=SZ  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) `:Ak3x/  
$1/| q3  
　　上述两式相比可得 :a{#3(@xM  
fa*Nn )  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) wGJM   
+v_u \<  
半角公式 AV:mw2  
&WzGO P  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); Cz~(tMed  
/TK5'7W1N  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. S 4OI  
HcOd!& e 3  
和差化积 ,T3t0&Fg  
h>2pvJI;Q  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] wJ'@ +  
a aS!jR  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 21 6 {H  
|a"fx"`{  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] @~[)zw>  
#C&M8ik1  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] LPv+2"lO^  
+J<Ct|2Ym?  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) D9\TM77,^  
D-%zy   
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) aj>R*-c  
aBK^9 s1  
积化和差 Pq9 apzT  
n /=dM  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 1tR6+|jv  
ges,;4hY  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] d&I{( O)r{  
I+ke($?]  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] Jq_ShJ  
M $W  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] LRj:';Y#Z9  
%IevKDi  
诱导公式 O+6cLid  
82\ [   
　　sin(-α) = -sinα ={lYWRX'  
T P@/aPHh  
　　cos(-α) = cosα F3\xB"X&U  
InO 0k,:^@  
　　sin(π/2-α) = cosα Xe[W=x)!  
+Q At^wQ  
　　cos(π/2-α) = sinα 9Ha"b  
8b-< Mab  
　　sin(π/2+α) = cosα B3.m\pf  
zX[o+]Rz  
　　cos(π/2+α) = -sinα NtO1b uty  
_"<*P\  
　　sin(π-α) = sinα C3V ;<Mfl  
E\@z6')  
　　cos(π-α) = -cosα `'B    
7sX35!G  
　　sin(π+α) = -sinα ^B^I-  
w>$*|c^/<  
　　cos(π+α) = -cosα V"J^hXVMTC  
$3Acn+o  
　　tanA= sinA/cosA QTza:i/c  
7`4%Mt  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα #2QLbCb  
>3d]-8p  
　　tan（π/2－α）＝cotα |@qtxVoc  
Lf)r} xO  
　　tan（π－α）＝－tanα %qmk?cs~  
] wP?r^  
　　tan（π＋α）＝tanα iF@9LC@C  
80U=fc*p  
万能公式 a7\4?Q'*  
M&Qkb P>  
　　 WVJdR7"-  
-{l'2l9/  
其它公式 SQd?SX}S  
r'a<$.H  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 N3>>x576[w  
LrRf F2  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 hd`@!aY|  
{!n \$b  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 4$DQ}YqI1J  
ga!a14f1  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 K+Und{f{q  
p#th\W4!Ta  
　　对于任意非直角三角形,总有 ;*T\y=p)6  
FMC~Cvjv  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC z^PMI/_i  
PiCb{?t  
　　证: ub]aReKy  
t? vf-^  
　　A+B=π-C x? \g|zCj  
J%~:% 0q  
　　tan(A+B)=tan(π-C) X0I^:7 E.  
:%g @  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) \ LjiI_l  
zgr[ef.  
　　整理可得 "uOQ$pb^v  
ksnIX P  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC pd`H] C60  
.!.qC '%  
　　得证 4kP2@HW!  
BhyV^l=bN  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 P#[1,'+$  
Fn;,k6 =hn  
其他非重点三角函数 `%S!2j34C  
y L913T  
　　csc(a) = 1/sin(a) >KyFv\m+`  
Sk^(2B  
　　sec(a) = 1/cos(a) uxA|3+\.  
O w\%K (  
　　 9s}ux\9  
Lx] |o\  
双曲函数 )KFm3[  
biLS^XW4u  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 Wc~XM@N"~  
`2v]uz  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 (21P{q*(  
)>fcRj&  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) Ude5I4  
O{ao<V,>o  
　　公式一： I`WM n  
v|yvVqbd  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： ?PnS6n}F  
'l lJW"H  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 4o_|36B  
[wP^[ dEL  
　　cos（2kπ＋α）= cosα Y_MiaLsz=  
!3x.E!z"  
　　tan（kπ＋α）= tanα K0]:(wQw  
>)+rYD/^  
　　cot（kπ＋α）= cotα J=ve~ lo  
m,TjuAH  
　　公式二： W26ou og  
. 35\'  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： ;RfIIbkNs  
T= tC  
　　sin（π＋α）= -sinα a^Wf+4^3  
\c G6FEW$  
　　cos（π＋α）= -cosα '2 F3V6h  
fO{YPU&^Q  
　　tan（π＋α）= tanα '2rN amYq  
U:F,l{W}-  
　　cot（π＋α）= cotα \8X)l"% >  
\ZRAEG5  
　　公式三： ~Vz7!T>?eO  
0*B7B yD%  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： )5)% 2NS  
*4+}h (9  
　　sin（-α）= -sinα U_g>3/  
VI7|T1T  
　　cos（-α）= cosα %?>.F<(n  
g6U&nR`gX<  
　　tan（-α）= -tanα )\(Xn  
&@U.&fhW  
　　cot（-α）= -cotα 0;15fj)gj  
UZBR  
　　公式四： MYw1z^  
B =Uq 42(  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：  ;zxAmk4  
{-NX:|u  
　　sin（π-α）= sinα /.^caZH  
WbI>nXc@  
　　cos（π-α）= -cosα v/&&4$Wr  
O5i="#`%I  
　　tan（π-α）= -tanα !:Ul&f  
1b]m 9j$  
　　cot（π-α）= -cotα EZ4kr$?@  
n''cUK.,  
　　公式五： <F|,+a6  
\}'4}  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 5@TTXegc  
"trl{~Q>  
　　sin（2π-α）= -sinα k3aly J9  
a,dFZ  
　　cos（2π-α）= cosα i>/LZ."EM  
,iO~ zx  
　　tan（2π-α）= -tanα hl=L.i7z  
sxdC?*v)J  
　　cot（2π-α）= -cotα fOh8 5e\*  
}{xBjB9v  
　　公式六： /EW^^  
x5*\"j&  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： qL,~cQJ(  
<G<jVb:[Y  
　　sin（π/2+α）= cosα T0)z>ndf  
(R\]rsCyn  
　　cos（π/2+α）= -sinα _~lGi  
ny00XVk  
　　tan（π/2+α）= -cotα <7XX- y  
v&s YL6C$#  
　　cot（π/2+α）= -tanα t[-'q06  
xV&% ~3  
　　sin（π/2-α）= cosα !>i^]"<L0L  
7U/JgziC~  
　　cos（π/2-α）= sinα d,T[SpTrr  
]HrvX.>P  
　　tan（π/2-α）= cotα `h R +-Dn  
#uE]LMZe  
　　cot（π/2-α）= tanα d?>s]U  
r5KB*%?OJ  
　　sin（3π/2+α）= -cosα )b? X{#  
RXRXY,  
　　cos（3π/2+α）= sinα w o+4w  
q4W+]'  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ]X`v}/,  
r-[?N_q  
　　cot（3π/2+α）= -tanα BStV  
eFJf-0M  
　　sin（3π/2-α）= -cosα nT5stH^  
2fm3HH)  
　　cos（3π/2-α）= -sinα -K~^ g6:["  
&eHg 1  
　　tan（3π/2-α）= cotα 4h"|V!:^  
^((T(F@  
　　cot（3π/2-α）= tanα Lhdf&cT  
G'o!#00Rs  
　　(以上k∈Z)  5tF,~$y  
.uw+"]R\  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 >rb%]l&Yr  
.g46'LAG|/  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = )g}v#V([  
cYayqj  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } vZ!J7 Lh  
nbA),m1<  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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