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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 Zd,<JDkn  
!.<38  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. *iu| ^7Tx  
]*"S9  
　　1、三角函数本质： !4N`W] j  
$'DiDI:y>  
　　三角函数的本质来源于定义 wl]8>_Ew`n  
xvBr@+2U  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 G)B4,%/dd  
U&;n C  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 #tP HXr  
6_X<u4" j  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 5| Xd,QFe|  
EW 3"4Mc  
　　推导： cS#9BI78p  
qN ;;g/  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 ii8x=`!Q}  
oYT\3?]  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) !trFwpYVS  
rvs/YMO:@  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) DXeXQe8!  
I;Lz|zVG  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 73kafm9S  
,H8\P}o.T{  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） `N%F.  
%jHL a7  
　　[1] Y~3c-Fx/  
V UXb#{j  
　　两角和公式 j9w%iFby"a  
)1l(2R'/  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB PgCU]Z!~  
x"\WW00L,<  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  ltdV7")5  
e ]%.{l{  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB .f\9n ,7  
D"|r?Q H  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB M(mb8q/  
Q[QpzgL  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 8LMzF?]  
U> ^2$_  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) Ph&^F92t  
Ww&1;H  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  PZ ", m/Q8  
& _q  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) )(V0X!}#Z  
r S"jZS0  
倍角公式 v]:bI)9FUd  
;.h)U-.\  
　　Sin2A=2SinA•CosA y}?kqhG  
IkH;q  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 '3l;  
K_xxL#VB  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） Kh>!$0n-h  
<u%Utq.5g  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） B=8`5KQ  
+.Dv3>&  
三倍角公式 9c.BVC`qK  
flErX^3  
　　 CNC7oA~5,  
u03J\&}E"l  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) hK+t.  
. #Aqx#+\  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) Mbur1Sj  
5N8Vt EVF  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) Sd~3&c  
F_lFo(*q  
三倍角公式推导 YZ?IPU2H7  
$R)<%}XN=  
　　sin3a %N[N'0Zb;  
;VsM#{%Y  
　　=sin(2a+a) l5<g- H%M>  
z1C^.lx_\  
　　=sin2acosa+cos2asina D+m$|Ml6K  
'_>?>>  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina n[B'Y  
RnQYTC{  
　　=3sina-4sin³a `?*W^(`fn  
iy q{,0H  
　　cos3a gYxALi9wF  
&$(Aj~zsp  
　　=cos(2a+a) y]'fC_b  
\fsIw~+aF  
　　=cos2acosa-sin2asina @\T:N Sy  
Q& (xaB  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa j4h!Cy/  
b(v|Nv$  
　　=4cos³a-3cosa ;CV0U  
)=Bs#vw_&  
　　sin3a=3sina-4sin³a q)aE  
Z;R U_6  
　　=4sina(3/4-sin²a) <H r=A=  
N9n(G"3_%  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ?RO'H"1`P  
Qemy8) n  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) mG|V!e#-k,  
#j ".zt   
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) ='GEe>AE  
AcM_,%rm  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] wNX|eCH~  
$I3DQ0?  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)  _vSC)  
q7O mh@jy  
　　cos3a=4cos³a-3cosa WDtJ lG)  
-k,RoSE;  
　　=4cosa(cos²a-3/4) W.o zV5(}#  
!5e OQ%  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] Ek(cZtNE  
aHJ4T),,  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) /{/tW`Z  
SL'DccD$f1  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) /=A(<q#%  
y'9M  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} nW1go}Y|bG  
xz1D5>{g&  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) u#v n!Td  
)qtM&U=   
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] _1]jppE  
1es`[%}-d  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] nAl x3on9  
>bt\WZKm  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 9D8xBbxB  
Y |sGr4  
　　上述两式相比可得 6: 'Dm`GG  
2~!-639z$  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) %]Il!Q0  
`&t> d0  
半角公式 P{xgxCA  
\se>Oe  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); (*.1< *&  
S]kitW|1?/  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. p8.291Q/(  
Q_=s@Q!  
和差化积 1 RN5D7rcO  
yZ-HJG  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 3aoc,]v  
;rA[ i |j  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 9Mc+Sf*c  
^$@*2Oe 3B  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] {ug6t  
~}nG?1 a  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] +(OY4=Z^8  
cY~n&7[R  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) N#Cy5XJ0  
zH8mAT\)  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 0~:k zShA  
IF^l'f+=  
积化和差 )fdSdKtThn  
wq\*C{0-\  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] npI~e yB]  
.^|9eSg'G  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] %XR \DMx  
cWio y^#C  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 8~P 'YcPT  
@#QNzvcS  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] W5S ~gV'`G  
0 ZI/! T  
诱导公式 X(84(ow  
/n..|{'  
　　sin(-α) = -sinα P&<mGL >g{  
c0.u<').  
　　cos(-α) = cosα iEm: a  
1'HrB@O);  
　　sin(π/2-α) = cosα f(id` w^  
y$%FUt58  
　　cos(π/2-α) = sinα ,t40AC-  
x0/^K  
　　sin(π/2+α) = cosα [2P }(  
_tKX:x{O  
　　cos(π/2+α) = -sinα scf^2>(Q  
PjhuVc@0f  
　　sin(π-α) = sinα 7W>r!7J|  
!K1!v SJ4_  
　　cos(π-α) = -cosα Ug>p;z`O  
Kfl@BGg!@  
　　sin(π+α) = -sinα xRe9DuH  
$T|M\T%<  
　　cos(π+α) = -cosα u' mD7.  
8NfDcR  
　　tanA= sinA/cosA /9e;~]|  
$MJ\YMH^  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα (iq6h Y`  
="Z8tK/  
　　tan（π/2－α）＝cotα <M#]  C  
9#G^k;&  
　　tan（π－α）＝－tanα OA BPhv  
K+5\zsV  
　　tan（π＋α）＝tanα we6DQ)@B#  
(H YB UR  
万能公式 >4n/W#8&e]  
d%h<,7XG  
　　 W_%IP;vsk  
G-P  
其它公式 qlyoAA_3  
{aX#S.  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 QG6pS1.  
;<wJ54  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 V+oOe][u2  
.|Ss^6=qk  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 kP>Q:sT&2  
VZGz(Z  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 h '4hq|_  
4ZR ? w;  
　　对于任意非直角三角形,总有 MfpeGY6K.  
z;!?yQ<  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC BTA jd[Lg  
NTqc[y< +  
　　证: Xg=}\ e5  
{%e(t(zV3  
　　A+B=π-C }Q&r^2&  
 cvcd2  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 8_7ZAJRL}4  
V .T~`K(  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Z[Z\ Fwj0  
Rrwz Pj  
　　整理可得 OjbsD{gIL  
=OCj[uW  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC }x)`-m w  
oJRy+.   
　　得证 ]\@K:x=s  
tf}G,`e#  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 Q Zw< i  
#&pC@S0  
其他非重点三角函数 `-F]X~d\  
nE~ls   
　　csc(a) = 1/sin(a) $h,,ODX  
\Z%wru3=.  
　　sec(a) = 1/cos(a) <SjbQot  
lEn=6 nB  
　　 |n vv}a  
rD~SKSWC  
双曲函数 L4r!Y C6  
d4+8-y.F  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 aMpI(#jM  
* X|'CQ  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 n5pS_#8rC  
k<Xn0 K@A  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) &(o=RJZ  
:4lNw!"3  
　　公式一： Phtan 2h  
wtr@|(j5+  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： c smx|s  
[FRToTp  
　　sin（2kπ＋α）= sinα "E2 +89c>  
@WLWDo  
　　cos（2kπ＋α）= cosα /~J&jP=ZB  
/f Lg  
　　tan（kπ＋α）= tanα zFk} 7 )  
G3uC7Vyc|  
　　cot（kπ＋α）= cotα L1Jwv*,_^  
VQ~^ZcK<  
　　公式二： Eg9K$pm  
c]t#[[X&y  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： qv>tH"2_  
-IP/8}OA  
　　sin（π＋α）= -sinα u]THQ:RR  
s$<w ?!iu  
　　cos（π＋α）= -cosα @p-|nh I:  
KD=hbe=}  
　　tan（π＋α）= tanα @Dh//[4{4  
Mu$[9LdIR  
　　cot（π＋α）= cotα R2q6#?=B]  
a<lEvcDSh  
　　公式三： Cc^?Lc  
d9+Zd}>c  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： ( XV+|CU  
)fR 0.QQ  
　　sin（-α）= -sinα 7 jNm 8_  
}R6f(>  
　　cos（-α）= cosα eV)Oq$  
G5f&EXE~  
　　tan（-α）= -tanα j8]t(i:4&  
~6OLW\%U  
　　cot（-α）= -cotα x_r:h:>  
5?89YtJ  
　　公式四： s5< T=uT!  
y9zGym4#  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： aw(H;C  
;x2]we*ol#  
　　sin（π-α）= sinα $| [*1O0  
p[O<mF'i$m  
　　cos（π-α）= -cosα  VcjZk  
J|3 |Q_i`  
　　tan（π-α）= -tanα &$VN _1  
j-z9]6^  
　　cot（π-α）= -cotα /kV%jI1;  
'j-,Eho48  
　　公式五：  7wM(L  
7HW*+:&  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： ;U4j% v  
9LuwuF7  
　　sin（2π-α）= -sinα }ty\KY6ocv  
0<!%x Pp[  
　　cos（2π-α）= cosα {r#I~6  
"iM>^4B  
　　tan（2π-α）= -tanα { [<sD I  
0 JL^ :`  
　　cot（2π-α）= -cotα +8GQf8uH  
G &X\N>  
　　公式六： UN{X260c:D  
*[)&`^N*  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： DqL.Io  
$$ N[  
　　sin（π/2+α）= cosα T4OfSzllr  
OU: PFC{  
　　cos（π/2+α）= -sinα J# 7^Id(n  
ekcV'(  
　　tan（π/2+α）= -cotα cgvWqKgEk  
DI.a?\cyj  
　　cot（π/2+α）= -tanα M^o QL.bR  
~,yd9~H  
　　sin（π/2-α）= cosα &{;+t!}x  
K13zN%_+ :  
　　cos（π/2-α）= sinα pX wF6d=  
2&!Y%RFS  
　　tan（π/2-α）= cotα ..zb>>;m  
-&R6:bP+N  
　　cot（π/2-α）= tanα Ew5prj  
"IS)lH;I  
　　sin（3π/2+α）= -cosα l4S !dX  
EF7NM:[vm  
　　cos（3π/2+α）= sinα 7m|CFxiY  
6vI3%^Y  
　　tan（3π/2+α）= -cotα o8fhpiq'  
b~9DVZSxz9  
　　cot（3π/2+α）= -tanα #a\{"Vuw  
U`? jCi  
　　sin（3π/2-α）= -cosα |}X&jVJ  
b]b^sN'HC  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 0v#N>zXi(  
y'83g?  
　　tan（3π/2-α）= cotα `sqUok c  
<H1ZM-0R  
　　cot（3π/2-α）= tanα joLyE\  
uJ,drT?d  
　　(以上k∈Z) $CUA";q  
*<D/T9IV]  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ?,82UYK  
BS ]NH  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = rm6`occzm  
?[X-rS1  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } eEHu(  
PZ2ic[Vy  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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